Grok 4,20 (Beta) förbättrar den nedre gränsen med 9,1 % på den Gaussiska perimetern av konvexa mängder på två minuter. Detta är något som Xinyuan Xie påpekade för mig. Redan 1993 visade Keith Ball att den gaussiska omkretsen av en konvex kropp i n-dimensionellt euklidiskt rum är begränsad uppifrån av 4n^{1/4}. När det gäller den nedre gränsen visade Ball att för en kub (av lämplig storlek) kan omkretsen växa som \sqrt{\log(n)}. Så det fanns ett glapp ett tag i vilken gräns som är skarp, fram till 2003, då Fedor Nazarov i en vacker artikel visade att i exemplet med en slumpmässig polyeder (snittet av många slumpmässiga halvrum) kan den nedre gränsen växa som C n^{1/4}, med C=\exp(-5/4)=0,286.... Dessutom förbättrade Nazarov även konstanten 4 i övre gränsen (ersatte den med 0,64) när n är stor. Dessa bounds förblev obesegrade tills nyligen, då Martin Raic 2019 lyckades förbättra den övre konstantfaktorn från 0,64 till 0,59. Grok 4,20 (Beta) lyckades, genom att optimera Nazarovs konstruktion mer noggrant, förbättra den nedre gränskonstanten från 0,286 till 0,3126. Jag finner detta förvånande även om det bara är en lek inom Nazarovs artikels tekniker, eftersom Nadimpalli--Pascale (2025) nyligen publicerade en preprint där de, med en annan metod, återfick Nazarovs nedre gräns med samma konstantfaktor 0,286.... Grok var mycket generös i sitt svar: den sade att förbättringen den gav följer samma argument som Nazarov ''rad-för-rad'', medan när jag bad andra modeller (förutom Grok) att verifiera Groks påstående, höll de med om allt utom denna del; De sa att förbättringen egentligen inte är "rad-för-rad"-:D. Slutligen skulle jag inte säga att Nazarov missade denna förbättring. Efter att ha känt honom länge är jag ganska säker på att det är vanligt att han offrar optimala konstanter för algebraisk elegans. Varför är allt detta intressant? Att kontrollera den Gaussiska perimetern gör det möjligt att kontrollera Fouriersvansar av karakteristiska funktioner för dessa mängder, vilket leder till att tidskomplexiteten för PAC-inlärning och agnostiska inlärningsalgoritmer för denna familj styrs (se Klivans--O'Donnell--Servedio). Referenser: Chattlänk med Grok 4.20 (Beta). Keith Ball. Det omvända isoperimetriska problemet för Gaussisk mått. Diskret och beräkningsgeometri, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O'Donnell och Rocco A Servedio. Att lära sig geometriska koncept via Gaussisk yta. I proc. 49:e IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), sidorna 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. på den maximala Gaussiska perimetern av konvexa mängder, återbesökt. Preprint (2025) Fedor Nazarov. På den maximala omkretsen av en konvex mängd i R^n med avseende på ett Gaussiskt mått. I Geometric Aspects of Functional Analysis (2001–2002), sidorna 169–187. Föreläsningsanteckningar i matematik, volym 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. En multivariat Berry–Esseen-sats med explicita konstanter. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853