Grok 4.20 (Beta) покращує нижню межу на 9,1% на гаусівському периметрі опуклих множин за дві хвилини. Це те, на що мені вказав Сін'юань Сє. Ще у 1993 році Кіт Болл показав, що гаусівський периметр опуклого тіла в n-вимірному евклідовому просторі обмежений зверху 4n^{1/4}. Щодо нижньої межі, Болл показав, що для куба (відповідного розміру) периметр може зростати як \sqrt{\log(n)}. Отже, деякий час існувала прогалина щодо того, яка межа є гострою, аж до 2003 року, коли у чудовій статті Федор Назаров показав, що на прикладі випадкового багатогранника (перетин багатьох випадкових півпросторів) нижня межа може зростати як C n^{1/4}, де C=\exp(-5/4)=0.286.... Крім того, Назаров також покращив константу 4 у верхній межі (замінивши її на 0,64), коли n велика. Ці межі залишалися незмінними до недавнього часу, коли у 2019 році Мартін Райк зміг покращити константний коефіцієнт верхньої межі з 0,64 до 0,59. Grok 4.20 (Beta), більш ретельно оптимізуючи конструкцію Назарова, зміг покращити константу нижньої межі з 0.286 до 0.3126. Мене це дивує, навіть якщо це просто гра в рамках технік статті Назарова, адже зовсім недавно Надімпаллі — Паскаль (2025) опублікували препринт, де з іншим підходом вони відновили нижню межу Назарова з тим самим сталим коефіцієнтом 0,286.... Grok був дуже щедрим у своїй відповіді: він стверджував, що покращення, яке він надає, відповідає тому ж аргументу Назарова «рядок за рядком», тоді як коли я попросив інших моделей (окрім Grok) підтвердити твердження Grok, вони погодилися у всьому, крім цієї частини; Вони сказали, що покращення не є «рядок за рядком» :D. Нарешті, я б не сказав, що Назаров пропустив це покращення. Знаючи його давно, я впевнений, що він часто жертвує оптимальними константами заради алгебраїчної елегантності. Чому все це цікаво? Контроль над гаусівським периметром дозволяє керувати фур'є-хвостами характеристичних функцій цих множин, що дозволяє контролювати часову складність алгоритмів навчання PAC та агностичного навчання для цієї сімейства (див. Кліванс — О'Доннелл — Серведіо). Джерела: Посилання на чат з Grok 4.20 (бета). Кіт Болл. Зворотна ізопериметрична задача для гауссової міри. Дискретна та обчислювальна геометрія, 10:411–420, 1993. Адам Кліванс, Раян О'Доннелл і Рокко А. Серведіо. Вивчення геометричних понять через гаусову площу поверхні. У проєкті 49-го симпозіуму IEEE з основ комп'ютерних наук (FOCS), сторінки 541–550, 2008. Шівам Надімпаллі, Калеб Паскаль. На максимальному гаусівському периметрі опуклих множин, переглянуто. Препринт (2025) Федір Назаров. На максимальному периметрі опуклої множини в R^n відносно гаусової міри. У книзі «Геометричні аспекти функціонального аналізу» (2001–2002), сторінки 169–187. Конспекти лекцій з математики, том 1807, Springer, 2003 Мартін Райц. Багатовимірна теорема Беррі–Ессена з явними константами. Бернуллі 25(4A), 2019, 2824–2853