Grok 4.20 (Beta) cải thiện giới hạn dưới lên 9.1% trên chu vi Gaussian của các tập hợp lồi trong hai phút. Đây là điều mà Xinyuan Xie đã chỉ ra cho tôi. Vào năm 1993, Keith Ball đã chỉ ra rằng chu vi Gaussian của một cơ thể lồi trong không gian Euclid n chiều bị giới hạn từ trên bởi 4n^{1/4}. Còn về giới hạn dưới, Ball đã chỉ ra rằng đối với một hình lập phương (có kích thước phù hợp), chu vi có thể tăng lên như \sqrt{\log(n)}. Vì vậy, đã có một khoảng trống trong một thời gian về việc giới hạn nào là sắc nét, cho đến năm 2003, khi trong một bài báo tuyệt đẹp, Fedor Nazarov đã chỉ ra rằng trên ví dụ của một đa diện ngẫu nhiên (sự giao nhau của nhiều nửa không gian ngẫu nhiên), giới hạn dưới có thể tăng lên như C n^{1/4}, với C=\exp(-5/4)=0.286…. Hơn nữa, Nazarov cũng đã cải thiện hằng số 4 trong giới hạn trên (thay thế nó bằng 0.64) khi n lớn. Những giới hạn này đã không bị đánh bại cho đến gần đây, khi vào năm 2019, Martin Raic đã thành công trong việc cải thiện hằng số giới hạn trên từ 0.64 xuống 0.59. Grok 4.20 (Beta), bằng cách tối ưu hóa cẩn thận hơn cấu trúc của Nazarov, đã cải thiện hằng số giới hạn dưới từ 0.286 lên 0.3126. Tôi thấy điều này thật bất ngờ ngay cả khi nó chỉ chơi trong các kỹ thuật của bài báo của Nazarov, vì rất gần đây Nadimpalli--Pascale (2025) đã đăng một bản thảo trước, trong đó, với một cách tiếp cận khác, họ đã phục hồi giới hạn dưới của Nazarov với cùng hằng số 0.286…. Grok đã rất hào phóng trong phản hồi của nó: nó nói rằng sự cải thiện mà nó cung cấp theo cùng một lập luận của Nazarov ``theo từng dòng,'' trong khi khi tôi hỏi các mô hình khác (ngoài Grok) để xác minh tuyên bố của Grok, họ đồng ý về mọi thứ ngoại trừ phần này; họ nói rằng sự cải thiện không thực sự là ``theo từng dòng'' :D. Cuối cùng, tôi sẽ không nói rằng Nazarov đã bỏ lỡ sự cải thiện này. Biết anh ấy từ lâu, tôi khá tự tin rằng anh ấy thường hy sinh các hằng số tối ưu vì sự thanh lịch đại số. Tại sao tất cả những điều này lại thú vị? Việc kiểm soát chu vi Gaussian cho phép kiểm soát các đuôi Fourier của các hàm đặc trưng của các tập hợp này, điều này dẫn đến việc kiểm soát độ phức tạp thời gian của việc học PAC và các thuật toán học không thiên lệch cho gia đình này (xem Klivans--O’Donnell--Servedio). Tài liệu tham khảo: Liên kết trò chuyện với Grok 4.20 (Beta). Keith Ball. Vấn đề Đảo ngược Isoperimetric cho Đo lường Gaussian. Hình học Rời rạc và Tính toán, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O’Donnell, và Rocco A Servedio. Học các khái niệm hình học thông qua diện tích bề mặt Gaussian. Trong Kỷ yếu Hội nghị IEEE lần thứ 49 về Cơ sở Khoa học Máy tính (FOCS), trang 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. Về Chu vi Gaussian Tối đa của Các Tập hợp Lồi, Được Xem lại. Bản thảo trước (2025) Fedor Nazarov. Về chu vi tối đa của một tập hợp lồi trong R^n liên quan đến một đo lường Gaussian. Trong Các Khía cạnh Hình học của Phân tích Chức năng (2001-2002) trang 169–187. Ghi chú Giảng dạy trong Toán học, Tập 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. Một định lý Berry–Esseen đa biến với các hằng số rõ ràng. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853