một nhóm là một trong những ý tưởng đơn giản nhưng mạnh mẽ nhất trong toán học. một nhóm chỉ là một tập hợp các phần tử với một phép toán tuân theo bốn quy tắc. 1. đóng kết hợp bất kỳ hai phần tử nào → kết quả vẫn nằm trong tập hợp. 2. đơn vị có một phần tử đặc biệt không thay đổi gì cả. a • e = a 3. nghịch đảo mỗi phần tử có một phần tử khác hủy bỏ nó. a • a⁻¹ = e 4. tính kết hợp thứ tự nhóm không quan trọng. (a • b) • c = a • (b • c) thế là xong. không có hình học. không cần số. tuy nhiên, cấu trúc đơn giản này mô tả sự đối xứng ở khắp mọi nơi: • quay của một hình vuông • hoán vị của các đối tượng • biến đổi trong vật lý • hệ thống mã hóa...