في عام 1772، وجد عالم الرياضيات السويسري العظيم ليونهارد أويلر شيئا جميلا ومفاجئا. اكتشف أن الصيغة البسيطة f(x) = x² + x + 41 ينتج الأعداد الأولية مرارا وتكرارا. إذا أضفت أعدادا صحيحة تبدأ من x = 0 حتى 39، فكل إجابة هي عدد أولي. تخيل حماس أويلر — صيغة صغيرة أنيقة تعطي النجوم كالسحر. لكن بعد ذلك جاء خيبة الأمل. عندما = x = 40، تنكسر التعويذة. النتيجة لم تعد أولية — بل أصبحت رقما مركبا. السحر لا يدوم إلى الأبد. ومع ذلك، فإن الصيغة مذهلة. حتى للقيم من x = 40 إلى 79، تنتج 33 عددا أوليا. هذا معدل نجاح مرتفع بشكل مثير للإعجاب لتعبير بسيط كهذا. بحث الرياضيون لاحقا عن صيغ أفضل. مثال قوي هو: 2x² − 199 بالنسبة لأول 1000 قيمة ل x، تنتج هذه الصيغة 598 عددا أوليا — أي أكثر من أي صيغة تربيعية أخرى تم اكتشافها حتى الآن. هذه الصيغ لا تخلق تيارا لا نهاية له من النماذج الأولية. لكنها تكشف عن شيء مثير للاهتمام: أنماط مخفية داخل الأرقام. وأحيانا، مع مجرد قلم رصاص وفكرة ذكية، تبدو الرياضيات شبه سحرية.

نظرية بايز ربما هي أهم شيء يمكن لأي شخص عقلاني أن يتعلمه. الكثير من نقاشاتنا وخلافاتنا التي نتحدث عنها تعود إلى أننا لا نفهم نظرية بايز أو كيف تعمل العقلانية البشرية غالبا. مبرهنة بايز سميت على اسم توماس بايز في القرن الثامن عشر، وهي في الأساس صيغة تسأل: عندما يعرض عليك كل الأدلة على شيء ما، إلى أي مدى يجب أن تصدقه؟ تعلمنا نظرية بايز أن معتقداتنا ليست ثابتة؛ هي احتمالات. تتغير معتقداتنا عندما نزن الأدلة الجديدة مقابل افتراضاتنا أو سوابقنا. بعبارة أخرى، كلنا نحمل أفكارا معينة حول كيفية عمل العالم، ويمكن للأدلة الجديدة أن تتحداها. على سبيل المثال، قد يعتقد شخص ما أن التدخين آمن، أو أن التوتر يسبب تقرحات الفم، أو أن النشاط البشري لا علاقة له بتغير المناخ. هذه هي سوابقهم، ونقاط انطلاقهم. يمكن أن تتشكل من ثقافتنا، أو تحيزاتنا، أو حتى المعلومات غير المكتملة. تخيل الآن أن تأتي دراسة جديدة تتحدى أحد سوابقك. قد لا تحمل دراسة واحدة الوزن الكافي لقلب معتقداتك الحالية. لكن مع تراكم الدراسات، قد تتغير الأمور في النهاية. في مرحلة ما، سيصبح السابق أقل وأقل منطقية. تجادل نظرية بايز بأن كونك عقلانيا ليس متعلقا بالأبيض والأسود. الأمر ليس حتى عن الحقيقة أو الكذب. بل يتعلق بما هو الأكثر منطقية بناء على أفضل الأدلة المتاحة. ولكن لكي ينجح هذا، يجب أن نقدم أكبر قدر ممكن من البيانات عالية الجودة. بدون الأدلة—وبدون بيانات تشكل المعتقدات—لا يبقى لنا سوى سابقاتنا وتحيزاتنا. وهذه ليست عقلانية جدا.

في مطلع القرن الثامن عشر، كانت الرياضيات تنفجر بأفكار جديدة. التفاضل والتكامل قد اخترع للتو. كان غيوم دي لوبيتال نبيلا فرنسيا ثريا شغوفا بالرياضيات، لكنه لم يكن عبقريا تماما. وظف أحد ألمع علماء الرياضيات الشباب في ذلك الوقت، يوهان برنولي، كمعلم شخصي. كان برنولي موهوبا جدا لدرجة أن لوبيتال قدم له عرضا مذهلا: راتب سنوي قدره 300 فرنك مقابل كل اكتشاف جديد يقوم به. نعم، لوبيتال اشترى النظريات. كلما وجد برنولي شيئا جديدا، كان يرسله إلى صاحب العمل. في عام 1696، نشر لوبيتال أول كتاب دراسي في التفاضل والتكامل بعنوان "تحليل اللانهاية الصغار". قدمت قاعدة لوبيتال الشهيرة، وهي كيفية التعامل مع الحدود غير المحددة مثل 0/0. لكن هنا المفاجأة: القاعدة، ومعظم الكتاب، كتبها برنولي فعليا. بعد وفاة لوبيتال، كشف برنولي الحقيقة وأظهر الرسائل التي تثبت الترتيب. ومع ذلك، ظل اسم لوبيتال مرتبطا بالقاعدة—تذكير بأن المال أحيانا في العلم يشتري الشهرة. اليوم، يتعلم كل طالب في التفاضل والتكامل قاعدة لوبيتال، حتى لو كان المؤلف الحقيقي هو يوهان برنولي.